"طبيعت راز هايش را با عظمت ذاتي اش پنهان كرده نه با حيله و نيرنگ"  آلبرت اينشيتين

يه مدت زيادي بود كه وبلاگم رو بروز نكرده بودم.واقعا عذر مي خوام من در پي توجيح كردن اين موضوع نيستم.از تمام دوستاني كه تشريف آوردن و نظر دادن چه مثبت و چه منفي تشكر مي كنم و از دوستاني كه نظراتشون بي پاسخ موند معذرت مي خوام سعي مي كنم به مرور نظراتشون رو به كار ببرم و پاسخ بدم.

چه چيز يك قضيه رو بزرگ مي كنه؟ عوامل زيادي در اين موضوع دخيل است:

چه چيز يك قضيه را بزرگ مي كند؟ عوامل زيادي در اين موضوع دخيل است:
1. كليت 2. كاربرد 3.قدرت 4. تقارن ... شايد توي يه پست نظر رياضيدان ها رو راجع به اين موضوع نقل كردم ولي تا اون موقع نظر آقاي Dan Kalman رو راجع به اين موضوع داشته باشيد.
"براي من ، يك قضيه بزرگ اونيه كه غافلگير كننده باشه.اگر خواندن يك قضيه شما رو وادار به گفتن: «اين غير ممكنه» كرده باشه ، منظور منو مي فهميد"
اين مقاله راجع به قضيه اي كه ، از نظر آقاي Dan Kalman كانديداي حيرت آورترين قضيه است.اين قضيه نتيجه اي جالب را در مورد رابطه ي بين ريشه هاي يك چند جمله اي و ريشه هاي مشتق آن بيان ميكند.كالمن آنرا قضيه ماردن (Marden's theorem) ناميده چون اين قضيه اولين بار در كتاب هندسه ي چند جمله اي ها (Geometry of Polynomials) نوشته ي( Morris Marden (1905-1991  آورده شده خود كالمن رد اين قضيه را تا مقاله اي از Jörg Siebeck كه در سال 1864 نوشته شده دنبال كرده است.
مقدمه
قضيه مورد نظر مشابه با ايده قضيه رل (Rolle's theorem) است- ما توي رياضيات عمومي از قضيه بولتزانو- وايراشتراس براي حداقل تعداد ريشه ها و از قضيه رل براي حد اكثر تعداد ريشه هاي يك معادله استفاده مي كنيم- قضيه رل به ما ميگويد كه ريشه ي مشتق بين هر جفت از ريشه هاي تابع اصلي قرار دارد.اين نوعي رابطه بين ريشه هاي چند جمله اي(p(x و مشتق آن(p’(x است.

شكل 1 : قضيه رل رابطه ي بين ريشه هاي چند جمله اي(p(x  و مشتق آن(p’(x

اگر چه قضيه ماردن در صفحه مختلط بيان مي شود ولي چند جمله اي(p(x فرم جبري مشابه اي با آنچه در رياضيات عمومي مشاهده مي شود، دارد.به عنوان مثال(p(z ممكن است به صورت زير داده شده باشد z³ + a₂ z² + a₁ z + a0  اما حالا ضرايب a_j اجازه دارند تا اعداد ثابتي در صفحه مختلط(complex numbers)باشند، و متغير z به طور مشابه در صفحه مختلط تغيير ميكند.حالا مي توانيم از ريشه هاي(p(z- مقاديري از z كه p(z)=0 – و (p’(z به طريق مشابه صحبت كنيم.
بطور مثال داريم:

p′(z) = 3a₃z² + 2a₂ z + a₁

اگر از مكان ريشه هاي p مطلع باشيم راجع به ريشه هاي (p’(z چي مي توانيم بگوييم؟ آيا قضيه رل هنوز هم  صادق است؟
زماني كه تصور كنيم اعداد حقيقي روي يك خط قرار دارند ، اعداد مختلط يك صفحه را اشغال خواهند كرد.ريشه هاي (p(z و (p’(z نقاطي در صفحه هستند.ممكنه شخصي بپرسد آيا ريشه هاي (p’(z مانند قضيه رل لزوما بايد مابين ريشه هاي p قرار بگيرند؟ اما بايد توجه كرد كه زماني كه ما با نقاط صفحه بجاي خط برخورد داريم مقداري ابهام درباره معني ما بين وجود دارد.يك ايده واضح اينست كه آيا ريشه هاي (p’(z بر روي پاره خطي است كه ريش هاي p را به هم وصل ميكند.اما اين گزاره درست نيست.فرض كنيد p يك مكعب باشد(چند جمله اي از درجه 3) ، و ريشه هاي آن در يك خط نباشند،بنابر اين ريشه ها يك مثلث را خواهند ساخت.بنابراين اين غير ممكن است كه روي هر خط مابين دو ريشه يp ريشه اي از (p’(z باشد چون (p’(z تنها دو ريشه دارد.بنابراين مي بايست نسخه اي از قضيه رل را تنظيم كنيم كه تقسيم دو ريشه ي (p’(z را مابين سه ضلع اين مثلث بيان كند.
حالا اين ايده را آزمايش مي كنيم، فرض كنيد(p(z به صورت زير باشد:

p(z) = (z² + 1)(z − 1) =  z³ − z² + z − 1

ريشه ها 1 و i و i - خواهد بود.درضمن داريم:

p′(z) = 3z² − 2z + 1

كه ريشه هاي آن در  قرار دارد.همانطور كه انتظار داشتيم ريشه هاي مشتق بر روي پاره خط هايي كه ريشه هاي p را به هم وصل مي كند قرار ندارد.اين مطلب در شكل 2 نشان داده شده است.

 شكل 2 : ريشه هاي (p’(z(نقاط آبي) بر روي پاره خط هاي متصل كننده ي ريشه هاي p (نقاط سياه) قرار نگرفته اند.

از طرف ديگر ، توجه كنيد كه ريشه هاي (p’(z نزديك به اضلاع مثلث يافت مي شود، و به عنوان نتيجه مي توان گفت آنها كاملا با ريش هاي p احاطه شده اند و اين به قضيه لوكاس  برمي گرد كه بيان مي كند :
تمامي ريشه هاي مشتق بايد در پوسته ي محدب ريشه هاي چند جمله اي اصلي قرار بگيرند.به طور خاص زماني كه(p(z يك چند جمله اي درجه 3 با ريشه هايي كه يك مثلث  را مي سازد ،است(مانند مثال ذكر شده در بالا) بنابراين ريشه هاي(p’(z بايد در داخل يا روي اين مثلث باشند.اين چيزي است كه قضيه لوكاس بيان مي كند.اما ما مي توانيم راجع به مكان ريشه ها حرف بيشتر ي بزنيم و اين زماني است كه قضيه ماردن وارد مي شود.
قضيه ماردن دستور هندسي جالبي براي يافتن ريشه هاي (p’(z مي دهد زماني كه p چندجمله اي درجه 3 با ريشه هاي نا هم خط در صفحه مختلط با شد.اين ريشه ها رئوس يك مثلث هستند، بيضي يكتايي وجود دارد كه در داخل اين مثلث محاط است و با هر ضلع آن در نقطه ي مياني آن ضلع مماس است. این بیضی مانند هر بيضي ديگري ، دو نقطه خاص به نام كانون دارد و اين كانون ها همان ريشه هاي(p’(z هستند! اين وضعيت در شكل 3 نشان داده شده.ريشه هاي p رئوس مثلث هستند، نقاظ مياني اضلاع با رنگ قرمز مشخص شده و كانون ها با رنگ آبي.

شكل 3 : p(z)=0 در رئوس مثلث و(p’(z در كانون هاي بيضي محاط در آن

و اما در لینک زیر بصورت پويا مي توانيد نحوي ارتباط كانون هاي بيضي را با ريشه اي مشتق مشاهده كنيد.

 
منبع اصلي:

http://www.maa.org/joma/Volume8/Kalman/index.html

پس زمينه تاريخي قضيه از :

http://www.maa.org/joma/Volume8/Kalman/History.html

پيش زمينه رياضي براي درك اثبات از:

http://www.maa.org/joma/Volume8/Kalman/Outline.html
http://www.maa.org/joma/Volume8/Kalman/Ellipse8.html
http://www.maa.org/joma/Volume8/Kalman/Ellipse9.html

وجود و يكتايي بيضي محاط از:

http://www.maa.org/joma/Volume8/Kalman/MaxEllipse.html

و در نهايت اثبات قضيه از اينجا قابل دسترس است:

http://www.maa.org/joma/Volume8/Kalman/Proof.html