يك روش براي ايجاد سوراخ به شكل مربع نيازمند تبديل حركت دايره اي به حركت مربعي است.
در يكي از تلاش هاي ابتدائي به منظور ساخت چنين ابزاري ، جميز وات ايده چرخش مثلث Reuleaux داخل يك مربع را داشت. يك مثلث Reuleaux ، كه پس از مهندس مكانيك(۱۸۲۹-۱۹۰۵) Franz Reuleaux اين نام را به خود گرفت، طول يكساني در تمامي لبه هاي كناري خود دارد.شكل اين مثلث از كمان هاي دايره اي تشكيل شده كه مركز هاي آنها بر رئوس يك مثلث متساوي اضلاع قرار دارد.
براي رسم يك مثلث رئولكس ،سه كمان دايره اي رسم كنيد كه هر كدام از كمان ها يكي از رئوس مثلث متساوي اضلاعي را به عنوان مركز داشته باشند و دو راس ديگر مثلث نقاط انتهايي كمان باشد.
مانند يك دايره اين مثلث گرد شده هم مي تواند بطور مماس در داخل مربعي قرار مي گيرد كه ضلعي به اندازه عرض كمان هاي آنرا داشته باشد.
فرقي نمي كند كه اين مثلث به كدام جهت چرخش كند در هر دو حالت با چرخش اين خم بسته مسيري بر جاي مي ماند كه در نهايت تقريبا تمام قسمت هاي مربع را مي پوشاند. وات شركتي را با نام شركت ابزار آلات برادران وات در ويلمردينگ براي ساخت درل هايي با قابليت ايجاد سوراخ مربعي تاسيس كرد كه بر پايه همين ايده استوار بود.اين شركت در حال حاضر هم مشغول فعاليت است.
اگرچه ، شكل سوراخ هاي ايجاد شده يك مربع كامل نيست و گوشه هاي اين سوراخ ها كمي گرد هستند.
چرخش داخل يك مربع توسط مثلث رئولكس خمي نزديك به مربع ايجاد خوهد كر.د
بري كوكس ( از دانشگاه ولونگنگ) و استن واگن ( از كالج مكالستر) به تازگي كاوشي در ميان راه حل هاي هندسي مسئله ايجاد سوراخ دقيقا مربع را داشتند.آنها نتيجه تحقيقات شان را در مقاله اي با عنوان مربع سازي دايره وار مكانيكي در شماره سپتامبر مجله ي College Mathematics Journal ارائه دادند.
كوكس و واگن با ابزاري مكانيكي شروع كردن كه ابتدا در سال 1939 در مقاله اي ناشناس در مجله جهان مكانيك منتشر شد. جان بريانت و كريس سانگوين (از دانشگاه بيرمنگام) در كتابشان " چقدر دايره ي شما گرد است ؟ جایيكه رياضيدان ها و مهندسين مكانيك به هم مي رسند " طراحي اين ابزار را مورد بازنگري قرار دادند و نمونه فيزيكي از اين درل را ساختند.
كليد هندسي در ساخت اين ابزار استفاده از گونه اي متفاوت از مثلث رئولكس است بطوريكه يك از رئوس مثلث گرد شده است. شروع اين طراحي از يك مثلث متساوي الساقين قائم الزاويه است.در ساختار كامل شده ، زماني كه كل ساختار در درون مربعي بزرگ چرخش مي كند ، راس زاويه قائم مسير مربعي كوچكي را خواهد پيمود.
در اين گونه تغييير يافته از مثلث رئولكس، زماني كه قسمت چرخنده ، يعني خمي با پهناي ثابت ، شروع به چرخش در داخل مربع بيروني ميكند، راس C مربع دورني ( خطوط منقطع ) را خواهد پيمود.
كوكس و واگن مي نويسند :" اگر كسي يك وسيله ي برنده در نقطه ي C قرار دهد و قسمت چرخنده را در داخل مربع بزرگ تر بگرداند ، نقطه C مربع كاملي را خواهد پيمود و ابزار برش در داخل مربع بزرگتر خواهد ماند"."بنابراين اين ابزار را مي توان به عنوان درلي در نظر گرفت مته سوراخي كاملا مربع ايجاد خواهد كرد ، گرچه براي رسيدن به يك مدل عملي نياز داريم كه اين ساختار را به بعد سوم بياوريم "
با استفاده از نرم افزار هاي جبري ، كوكس و واگن ايده خود را براي طراحي غلتكي تعميم دادند كه قادر به ايجاد سوراخي به شكل شش ضلعي كامل باشد.در اين حالت شكل طراحي مورد نياز از شش كمان دايره اي تشكيل خواهد شد.
غلتكي براي ايجاد سوارخ به شكل شش ضلعي كامل كه از شش كمان تشكل شده كه مركز هاي آنها در O,A,X,O,Y وF قرار دارد
.كوكس و واگن اين طور نتيجه گيري مي كنند : " مي توان ايده اي مشابه را براي هشت ضلعي به كار برد ، و به نظر مي آيد زماني كه n زوج باشد مي توان آنرا براي n-ضلعي منتظم تعميم داد."." اما سوال حل نشده اصلي اين است كه آيا مي توان ساختاري را بر همين اصول تعبيه كرد كه سوراخ هايي سه ضلعي يا پنج ضلعي بسازد."
منبع :
Cox, B., and S. Wagon. 2009. Mechanical circle-squaring. College Mathematics Journal 40(September):238-247.
Peterson, I. 2003. Rolling with Reuleaux. MAA Online (Sept. 22).
منبع اصلي :
Peterson, I. 2009. Drilling a Square Hole. MAA Online (August.31
).
