ریاضی کاربردی

13:47یکشنبه بیست و چهارم خرداد 1388

روزبه ابرازی

مطالب زير رو از كتاب دفاعيه يك رياضيدان (عنوان اصلي :A mathematician’s apology ) نوشته ي گادفري هرولد هاردي (Godfrey Harold Hardy) انتخاب كردم كه ترجمه سيامك كاظمي ، انتشارات علمي وفني مي باشد.

"متن اين كتاب دفاعيه يك رياضيدان ، كه با قلمي شيرين و روان نگاشته شده است ، به دفاعيه گاد فري هرولد هاردي از رياضيات از زبان خودش مي پردازد و سودمندي هاي اين رشته را در زندگش از مسائل پيش پا افتاده تا بسيار مهم بيان ميكند.

در اين كتاب همچنين به طور مختصربا زندگي اين رياضيدان از زبان دوستش چارلز پرسي اسنو آشنا مي شويد"

رياضيدان مانند نقاش يا شاعر نقش پرداز است، نقش هاي او از ايده ساخته مي شوند.ممكن است ظاهرا فقر ايده تاثير چنداني بر زيبايي لفظي شعر نداشته باشد مثل:

گليم بخت كسي را كه بافته اند سياه /به آب زمزم و كوثر سفيد نتوان كرد،(اين بيت براي روشن شدن موضوع انتخاب شده)

ولي رياضيدان ابزاري جز ايده در دست ندارد بنابراين نقش هاي او بيشتر مي پايند زيرا ايده ديرتر ازكلمه كهنه مي شود.

ممكن است تعريف زيبايي رياضي بسيار دشوار باشد ، ولي تعريف هر نوع زيبايي همين طور است.بيشتر مردم همانگونه كه از يك آهنگ دلپذير لذت مي برند ، زيبايي رياضي را نيز درك ميكنند.

نقش هاي رياضيدانان، ايده هاي رياضي، بايد زيبا باشند، به گونه اي هماهنگ به هم بپيوندند، در واقع زيبايي نخستين محك رياضي است.

هر بازيكن شطرنج مي تواند يك بازي زيبا يا مسئله زيبا را تشخيص دهد ودرك كند ولي شطرنج چيزي نيست جز تمريني در رياضيات محض.فرق مسائل شطرنج و با مسائل عالي رياضي در جدي بودن آن است،جدي بودن نه به اين معنا كه نتايج عملي ندارد چون قسمت بسيار كوچكي از رياضيات فايده عملي دارند(يا حداقل براي آن كاربرد عملي پيدا شده) كه آن قسمت هم ملال آور است!

جدي بودن پر مضموني ايده هايي است كه به وسيله آن قضيه به هم پيوند مي خورد و پر مضموني به اين معنا كه ايده اي داشته باشد كه بتواند بطور طبيعي و روشنگر با دسته ي بزرگي از ايده هاي ديگر در ارتباط باشد.

مثل كارهاي فيثاغورث ،نيوتن ، انيشتين كه سبب پيشرفت خود رياضي و يا حتي علوم ديگر شده است.

جدي بودن در پيامد ها و يا حتي در نتايج عملي آن نيست، محتواي كار است كه اثري را بزرگ ميكند.

زبايي يك قضيه تا حد زيادي به جدي بودن آن بستگي دارد مانند شعر :

شب تاريك و بيم موج و گردابي چنين هايل/ كجا دانند حال ما سبك باران ساحل ها،(اين بيت براي روشن شدن موضوع انتخاب شده)

كه نقَشي لطيف را در كنار ايده اي پر مضمون و واقعي دارد.

به طور مثال در قضيه فيثاغورث ما با كميت هايي سر و كار داريم كه با حساب معمولي نمي توانيم آنها را اندازه بگيريم ، همه مقادير هم نوع (مثلا دو طول) مضاربي از يك واحد مشترك نيستند، روح اين قضيه به قدري امروزي است كه نمي توان آنرا سر آغاز نظريه مدرن اعداد گنگ دانست كه آناليز رياضي را دگرگون ساخته و تاثير زيادي بر فلسفه مدرن داشته پس هيچ شكي در جدي بودن و پر مضموني ايده هايي كه باهم مرتبط مي كند نيست.

اما نكته جالب اينكه اين موضوع كوچكترين اهميت عملي ندارد.چون به غير از فيزيك اتمي و نجوم ، مهندسين به اعداد بسيار بزرگ يا تقرب هاي بسيار طولاني از اعداد احتياجي ندارند، واضح است كه اعداد گنگ براي مهندسين جالب نيست.

19:37جمعه شانزدهم اسفند 1387

زندگينامه: خواجه نصیرالدین طوسی

روزبه ابرازی

"اگر چه این ممکن است به یک تناقض شبیه باشد اما تمام علوم دقیقه با مفهومی از تقریب احاطه شده اند" برتراند راسل

محمد بن حسن جهرودي طوسي مشهور به خواجه نصيرالدين طوسي در تاريخ 15 جمادي الاول سال 598 هجري قمري در طوس به دنيا آمد
او به تحصيل دانش علاقه زيادي داشت و از دوران جواني در علوم رياضي و نجوم و حكمت سرآمد شد و از دانشمندان معروف زمان خود گرديد.

طوسي يكي از سرشناس‌ترين و با نفوذترين چهره‌هاي تاريخ اسلام است. علوم ديني و علوم عملي را زير نظر پدرش و منطق و حكمت را نزد خالويش، بابا افضل ايوبي كاشاني آموخت. تحصيلاتش را در نيشابور به اتمام رساند و در آنجا به عنوان دانشمندي برجسته شهرت يافت.

علامه حلّي كه يكي از شاگردان خواجه نصيرالدين طوسي است درباره وي مي‌گويد: خواجه نصيرالدين طوسي افضل عصر ما بود و از علوم عقليه و نقليه مصنفات بسيار داشت. او اشرف كساني است كه ما آنها را درك كرده‌ايم.

وي در سال 611 در مقابل پيشروي مغولان به يكي از قلعه‌هاي ناصرالدين محتشم فرمانرواي اسماعيلي پناه برد. اين كار به وي امكان داد كه برخي از آثار مهم اخلاقي، منطقي، فلسفي و رياضي خود از جمله مشهورترين كتابش «اخلاق ناصري» را به رشته تحرير درآورد.

وقتي كه هولاكو به فرمانروايي اسماعيليان در سال 635 پايان داد طوسي را در خدمت خود نگاه داشت و به او اجازه داد كه رصدخانه بزرگي در مراغه احداث كند كه شروع آن از سال 638 بود.

قسمت اعظم 150 رساله و نامه‌هاي طوسي به زبان عربي نوشته شده است. وسعت معلومات و نفوذ او با ابن‌سينا قابل قياس است جز آنكه ابن سينا پزشك بهتري بود و طوسي رياضيدان برتر.

معروفترين آثار نجومي وي زيج ايلخاني است كه در سال 650 نوشته شده و همچنين تذكره في علم الهيئه. در نجوم تذكره في علم الهيه وي كاملترين نقد بر نجوم بطلميوسي در قرون وسطي و معرف تنها الگوي رياضي جديد حركات سيارات است كه در نجوم قرون وسطي نوشته شده است.

در سال 672 هجري قمري نصيرالدين طوسي با جمعي از شاگردان خود به بغداد رفت كه بقاياي كتاب‌هاي تاراج رفته را جمع‌آوري و به مراغه بازگرداند اما اجل مهلتش نداد و در تاريخ 18 ذيحجه سال 672 هجري قمري در كاظمين نزديك بغداد دار فاني را وداع گفت.

نصيرالدين طوسي ستاره درخشاني بود كه در افق تاريك مغول درخشيد و در هر شهري كه پاگذارد آنجا را به نور حكمت و دانش و اخلاق روشن ساخت و در آن دوره تاريك وجود چنين دانشمندي مايه اعجاب و اعجاز بود.

برخي از تأليفات خواجه نصيرالدين طوسي:

تحريراقليدس
الرسالة الشافية عن الشك في الخطوط المتوازية
تحرير مجسطي
كشف القناع عن اسرار شكل القطاع
تحرير كتاب مانالاوس في الاشكال الكروية
تحريراكثرثاوذوسيوس
تحرير كتاب مأخوذات ارشميدس
تحريركتاب المناظراقليدس
تحرير كتاب المساكن ثاوذوسيوس
تحرير كتاب الكرة المتركة اطولوقس
تحرير كتاب في الايام و الليالي ثاوذوسيوس
تحرير كتاب ظاهرات الفلك اقليدس
تحرير كتاب في الطلوع و الغروب اطولوقس
تحرير كتاب ابسقلاوس في المطالع
تحرير كتاب المفروضات ارشميدس
كتاب ارسطرخس في جرمي النيرين و بعديهما
تحرير كتاب معرفة مساحة الاشكال السيطة و الكروية
تحرير كره و اسطوانه ارشميدس
تحرير كتاب امعطيات
ترجمه ثمرة الفلك
كتاب انعكاسات الشعاعات
تذكره نصيريه در هيأت
ترجمه صور الكواكب
رساله در شعاع
رساله معينيه در هيأت وذيل آن
زيج ايلخاني
بيست باب درمعرفت اسطر لاب
زبدة الهيئة در هيأت و استكشاف احوال افلاك و اجرام
سي فصل در هيأت و معرفت تقويم
رساله در حساب و جبر و مقابله
زبدة الادراك في هيأت الافلاك
مدخل في علم النجوم
كتاب صد باب در معرفت اسطرلاب
استخراج قبلة تبريز
اخلاق ناصري
اوصاف الاشراف
تنسوق نامه ايلخاني در معدن شناسي
جواهرالفرائض در فقه
آداب المتعلمين درتربيت
معيار الاشعار در عروض
اساس الاقتباس
تجريد المنطق
تعديل المعيار في نقد تنزيل الافكار
رساله معقولات يا قاطيغورياس
حل مشكلات اشارات، در فلسفه
رساله اثبات جوهر مفارق يا رساله نفس الامر يا اثبات العقل
رسالة في العلم و العالم و المعلوم
رساله بقاء النفس بعد فناء الجسد
رساله در كيفيت صدور موجودات
رساله در نفي و اثبات
رساله العلل و المعلولات
تجريد العقايد در كلام
فصول نصيريه
تلخيص المحصل
مصارع المصارع
رساله در جبر و اختيار
رساله اثبات واجب
رساله در امامت

منبع: همشهری آنلاین

http://www.hamshahrionline.ir/News/?id=75810

0:50جمعه نهم اسفند 1387

یک قضيه جالب در رياضي

روزبه ابرازی

"طبيعت راز هايش را با عظمت ذاتي اش پنهان كرده نه با حيله و نيرنگ" آلبرت اينشيتين

يه مدت زيادي بود كه وبلاگم رو بروز نكرده بودم.واقعا عذر مي خوام من در پي توجيح كردن اين موضوع نيستم.از تمام دوستاني كه تشريف آوردن و نظر دادن چه مثبت و چه منفي تشكر مي كنم و از دوستاني كه نظراتشون بي پاسخ موند معذرت مي خوام سعي مي كنم به مرور نظراتشون رو به كار ببرم و پاسخ بدم.

چه چيز يك قضيه رو بزرگ مي كنه؟ عوامل زيادي در اين موضوع دخيل است:

چه چيز يك قضيه را بزرگ مي كند؟ عوامل زيادي در اين موضوع دخيل است:
1. كليت 2. كاربرد 3.قدرت 4. تقارن ... شايد توي يه پست نظر رياضيدان ها رو راجع به اين موضوع نقل كردم ولي تا اون موقع نظر آقاي Dan Kalman رو راجع به اين موضوع داشته باشيد.
"براي من ، يك قضيه بزرگ اونيه كه غافلگير كننده باشه.اگر خواندن يك قضيه شما رو وادار به گفتن: «اين غير ممكنه» كرده باشه ، منظور منو مي فهميد"
اين مقاله راجع به قضيه اي كه ، از نظر آقاي Dan Kalman كانديداي حيرت آورترين قضيه است.اين قضيه نتيجه اي جالب را در مورد رابطه ي بين ريشه هاي يك چند جمله اي و ريشه هاي مشتق آن بيان ميكند.كالمن آنرا قضيه ماردن (Marden's theorem) ناميده چون اين قضيه اولين بار در كتاب هندسه ي چند جمله اي ها (Geometry of Polynomials) نوشته ي( Morris Marden (1905-1991 آورده شده خود كالمن رد اين قضيه را تا مقاله اي از Jörg Siebeck كه در سال 1864 نوشته شده دنبال كرده است.
مقدمه
قضيه مورد نظر مشابه با ايده قضيه رل (Rolle's theorem) است- ما توي رياضيات عمومي از قضيه بولتزانو- وايراشتراس براي حداقل تعداد ريشه ها و از قضيه رل براي حد اكثر تعداد ريشه هاي يك معادله استفاده مي كنيم- قضيه رل به ما ميگويد كه ريشه ي مشتق بين هر جفت از ريشه هاي تابع اصلي قرار دارد.اين نوعي رابطه بين ريشه هاي چند جمله اي(p(x و مشتق آن(p’(x است.

شكل 1 : قضيه رل رابطه ي بين ريشه هاي چند جمله اي(p(x و مشتق آن(p’(x

اگر چه قضيه ماردن در صفحه مختلط بيان مي شود ولي چند جمله اي(p(x فرم جبري مشابه اي با آنچه در رياضيات عمومي مشاهده مي شود، دارد.به عنوان مثال(p(z ممكن است به صورت زير داده شده باشد z³ + a₂z² + a₁ z + a0 اما حالا ضرايب a_j اجازه دارند تا اعداد ثابتي در صفحه مختلط(complex numbers)باشند، و متغير z به طور مشابه در صفحه مختلط تغيير ميكند.حالا مي توانيم از ريشه هاي(p(z- مقاديري از z كه p(z)=0 – و (p’(z به طريق مشابه صحبت كنيم.
بطور مثال داريم:

p′(z) = 3a₃z² + 2a₂ z + a₁

اگر از مكان ريشه هاي p مطلع باشيم راجع به ريشه هاي (p’(z چي مي توانيم بگوييم؟ آيا قضيه رل هنوز هم صادق است؟
زماني كه تصور كنيم اعداد حقيقي روي يك خط قرار دارند ، اعداد مختلط يك صفحه را اشغال خواهند كرد.ريشه هاي (p(z و (p’(z نقاطي در صفحه هستند.ممكنه شخصي بپرسد آيا ريشه هاي (p’(z مانند قضيه رل لزوما بايد مابين ريشه هاي p قرار بگيرند؟ اما بايد توجه كرد كه زماني كه ما با نقاط صفحه بجاي خط برخورد داريم مقداري ابهام درباره معني ما بين وجود دارد.يك ايده واضح اينست كه آيا ريشه هاي (p’(z بر روي پاره خطي است كه ريش هاي p را به هم وصل ميكند.اما اين گزاره درست نيست.فرض كنيد p يك مكعب باشد(چند جمله اي از درجه 3) ، و ريشه هاي آن در يك خط نباشند،بنابر اين ريشه ها يك مثلث را خواهند ساخت.بنابراين اين غير ممكن است كه روي هر خط مابين دو ريشه يp ريشه اي از (p’(z باشد چون (p’(z تنها دو ريشه دارد.بنابراين مي بايست نسخه اي از قضيه رل را تنظيم كنيم كه تقسيم دو ريشه ي (p’(z را مابين سه ضلع اين مثلث بيان كند.
حالا اين ايده را آزمايش مي كنيم، فرض كنيد(p(z به صورت زير باشد:

p(z) = (z² + 1)(z − 1) = z³ − z² + z − 1

ريشه ها 1 و i و i - خواهد بود.درضمن داريم:

p′(z) = 3z² − 2z + 1

كه ريشه هاي آن در قرار دارد.همانطور كه انتظار داشتيم ريشه هاي مشتق بر روي پاره خط هايي كه ريشه هاي p را به هم وصل مي كند قرار ندارد.اين مطلب در شكل 2 نشان داده شده است.

شكل 2 : ريشه هاي (p’(z(نقاط آبي) بر روي پاره خط هاي متصل كننده ي ريشه هاي p (نقاط سياه) قرار نگرفته اند.

از طرف ديگر ، توجه كنيد كه ريشه هاي (p’(z نزديك به اضلاع مثلث يافت مي شود، و به عنوان نتيجه مي توان گفت آنها كاملا با ريش هاي p احاطه شده اند و اين به قضيه لوكاس برمي گرد كه بيان مي كند :
تمامي ريشه هاي مشتق بايد در پوسته ي محدب ريشه هاي چند جمله اي اصلي قرار بگيرند.به طور خاص زماني كه(p(z يك چند جمله اي درجه 3 با ريشه هايي كه يك مثلث را مي سازد ،است(مانند مثال ذكر شده در بالا) بنابراين ريشه هاي(p’(z بايد در داخل يا روي اين مثلث باشند.اين چيزي است كه قضيه لوكاس بيان مي كند.اما ما مي توانيم راجع به مكان ريشه ها حرف بيشتر ي بزنيم و اين زماني است كه قضيه ماردن وارد مي شود.
قضيه ماردن دستور هندسي جالبي براي يافتن ريشه هاي (p’(z مي دهد زماني كه p چندجمله اي درجه 3 با ريشه هاي نا هم خط در صفحه مختلط با شد.اين ريشه ها رئوس يك مثلث هستند، بيضي يكتايي وجود دارد كه در داخل اين مثلث محاط است و با هر ضلع آن در نقطه ي مياني آن ضلع مماس است. این بیضی مانند هر بيضي ديگري ، دو نقطه خاص به نام كانون دارد و اين كانون ها همان ريشه هاي(p’(z هستند! اين وضعيت در شكل 3 نشان داده شده.ريشه هاي p رئوس مثلث هستند، نقاظ مياني اضلاع با رنگ قرمز مشخص شده و كانون ها با رنگ آبي.

شكل 3 : p(z)=0 در رئوس مثلث و(p’(z در كانون هاي بيضي محاط در آن

و اما در لینک زیر بصورت پويا مي توانيد نحوي ارتباط كانون هاي بيضي را با ريشه اي مشتق مشاهده كنيد.

http://www.maa.org/joma/Volume8/Kalman/MardenShow.html

منبع اصلي:

http://www.maa.org/joma/Volume8/Kalman/index.html

پس زمينه تاريخي قضيه از :

http://www.maa.org/joma/Volume8/Kalman/History.html

پيش زمينه رياضي براي درك اثبات از:

http://www.maa.org/joma/Volume8/Kalman/Outline.html
http://www.maa.org/joma/Volume8/Kalman/Ellipse8.html
http://www.maa.org/joma/Volume8/Kalman/Ellipse9.html

وجود و يكتايي بيضي محاط از:

http://www.maa.org/joma/Volume8/Kalman/MaxEllipse.html

و در نهايت اثبات قضيه از اينجا قابل دسترس است:

http://www.maa.org/joma/Volume8/Kalman/Proof.html

0:43یکشنبه یازدهم شهریور 1386

کاربردی از ریاضیات در طراحی جاده ها و خطوط راه آهن

روزبه ابرازی

قطار های مدل اغلب داری دو نوع ریل هستند : ریل های خمیده ، که در بیشتر اوقات کمان هایی از یک دایره به شعاع R هستند ، و ریل های راست. این ریل ها عمدتا طوری طراحی شده اند که به شکل زیر سرهم بندی می شود
مسیر های AB و CDمستقیم و مسیرهای BC و DAنیم دایره هستند.اما آیا این مسیر ها به اندازه کافی خمیده هستند ؟!
مسیر های طراحی شده بوسیله اصطکاک پایدار می ماند و اغلب ممکن است در هنگام عبور قطار از روی آنها جدا شوند.اگر چه ممکن است در وسط مسیر های خمیده یا مسیر های مستقیم اتصالات دیگری نیز وجود داشته باشد ولی در بیشتر مواقع مسیر کلی از نقاط A,B,C,D جدا می شود .
برای بررسی این اتفاق تصور کنید قطاری با سرعت ثابت در حال حرکت است بنابراین شتاب مماس آن یعنی صفر است و در نتیجه شتاب کلی آن تنها شتاب مرکز گرای آن است( شعاع خمیدگی مسیر است که برای شکل بالا بر روی مسیر خمیده مقداری برابر R دارد).بنابراین اندازه شتاب بر روی مسیر مستقیم صفر است و در مسیر نیم دایره است.به این دلیل مقدار شتاب در نقاط A,B,C,D نا پیوسته است (همانطور که در نمودار مشخص است). همین نا پیوستگی سبب می شود تا نیروی عکس العملی که از جانب قطار به ریل وارد می شود نیز در این نقاط نا پیوسته باشد . به همین دلیل نوعی شوک یا ضربه به هنگام وارد شدن و یا ترک پیچ وجود دارد ( البته حتما اثر این ضربه را در پیچ های غیر اصولی هنگام عبور خودرو و یا برعکس نیروی نرم و یکنواختی را در هنگام سفر در داخل مترو حس کرده اید) برای جلوگیری از بوجود آمدن چنین نقاط فشاری که موجب خروج قطار از ریل و یا خروج خودرو از جاده می شود مسیرها می بایست طوری طراحی شوند که خمیدگی جاده بطور یکنواخت تغییر کند.( البته این طراحی بطور نسبی و با توجه به شرایط محیطی و کمک گرفتن از شیب و اتصالات قوی تر نیز قابل بهبود است )

مثال : مسیری در امتداد منفی محور x ها و مسیر دیگری در امتداد شعاع y=x-1 ، x≥2 وجود دارد می خواهیم این دو مسیر را با استفاده از منحنی چند جمله ای f، به اندازه کافی خمیده و با حد اقل درجه ، طوری بهم وصل کنیم که هیچ گونه نا پیوستگی شتاب در نقاط اتصال احساس نشود.

راه حل : منحنی f باید طور انتخاب شود که مسیر ، شیب و خمیدگی آن در نقاط x=0 و x=2 پیوسته باشد.(همانطور که می دانیم خمیدگی عکس شعاع خم است )از آنجا که خمیدگی ( curvature ) منحنی f بصورت زیر است

و f چند جمله است ما تنها نیاز داریم f و 'f و ''f در نقاط اتصال به y=0 ، x≤0 و y=x-1 ، x≥2 مقادیر y و 'y و ''y را داشته باشد تا پیوستگی های مورد نظر اعمال شود یعنی هم مسیر پیوسته شود و هم از پیوستگی f' و f'' پیوستگی نتیجه شود و بنابراین و شتاب کل پیوسته می شود.

y(0)=f(0)=0 y'(0)=f'(0)=0 y''(0)=f''(0)=0
y(2)=f(2)=1 y'(2)=f'(2)=1 y''(2)=f''(2)=0

این شش شرط مستقل به ما چند جمله ای درجه 5 را پیشنهاد می کند :

f(x)=A+Bx+Cx²+Dx³+Ex⁴+Fx⁵
f'(x)=B+2Cx+3Dx²+4Ex³+5Fx⁴
f''(x)=2C+6Dx+12Ex²+20Fx³

سه شرط x=0 ، A=B=C=0 را نتیجه میدهد و برای سه شرط x=2 داریم :

8D+16E+32F=f(2)=1
12d+32E+80F=f'(2)=1
12D+48E+169F=f''(2)=0

که عدد های D=1/4 و E=-1/16 و F=0 را نتیجه می دهد و در نتیجه جواب :

که در نهایت مسیر کلی بصورت زیر است:

است. البته طراحان جاده ها و سازندگان ریل قطار ها اغلب از چند جمله ای ها برای اتصال استفاده نمی کند و در عوض از خم های clothoid و Lemniscat استفاده می کنند. چرایی استفاده از خم های بالا نیز به خواص جالب آنها بر می گردد که خود قبل تامل می باشد!